Tugas IAD 11

Matrix Relasi dan diagram panah, relasi Invers

Definisi Relasi adalah himpunan bagian antara  A(domain) dan B (kodomain) atau  relasi yang memasangkan setiap elemen yang ada pada himpunan  A secara tunggal, dengan elemen yang  pada B.

Macam penyajian relasi :

Penyajian Relasi dengan Diagram Panah

  Misalkan A = {3,4,5} dan B = {2,4}.

  Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan aturan :   (a, b) ∈ R jika a faktor prima dari b maka relasi tersebut dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini :

 

Penyajian relasi dengan diagram cartesius

Diagram Kartesius menggunakan pasangan koordinat horisontal-vertikal. Setiap titik mewakili ada tidaknya hubungan A dan B, contoh :

 

Penyajian Relasi berupa Pasangan Terurut

     Contoh relasi pada diagram panah dapat

             dinyatakan dalam

             bentuk pasangan terurut, yaitu :

             R = {(3, 2), (4, 2), (5, 2), (5, 4)}

Penyajian Relasi dengan Tabel

Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal,

sedangkan kolom kedua menyatakan daerah

hasil

 

Penyajian Relasi dengan Matriks

           
            Relasi antara A = {a₁, a₂, …, a_m} dan B = {b₁, b₂, …, b_n}

 

           

Jenis-jenis Relasi

Relasi Invers

Misalkan R merupakan  relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan  adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang bila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sbb ;

R-1= {(b,a) : (a,b)R}

contoh:
A = {1,2,3}           B = {x,y}
R = {(1,x), (1,y), (3,x)} relasi dari A ke B
R-1= {(x,1), (y,1), (x,3)} relasi invers dari B ke A

Relasi Refleksif

Misalkan R = (A, A, P(x,y)) suatu relasi.

R disebut relasi refleksif, jika setiap A berlaku (a,a)R.

Dengan kata lain, R disebut relasi refleksif jika setiap anggota dalam A berelasi dengan dirinya sendiri

Contoh Relasi Refleksif

Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan

R = {(1,1), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)}

Apakah R relasi refleksif ?

R bukan relasi refleksif, sebab (2,2) tidak termasuk dalam R.

Jika (2,2) termasuk dalam R, yaitu R1= {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)} maka R1merupakan relasi refleksif.

Relasi Simetrik

Misalkan R = (A, B, P(x,y)) suatu relasi.

R disebut relasi simetrik, jika setiap (a,b)R berlaku (b,a)R.

Dengan kata lain, R disebut relasi simetrik jika a R b berakibat b R a.

Contoh Relasi Simetrik

perhatikan satu per satu. Setiap kali kamu menemukan pasangan, misalnya (a, b), maka cari apakah (b, a) juga ada. Kalau ternyata tidak ada, pasti relasi itu tidak simetrik.

Apakah relasi dalam {1, 2, 3, 4} berikut simetrik?

pembahasan

{(1, 2), (2, 3), (4, 2), (3, 2), (2,4), (1, 1), (3, 3), (2, 1)}

Relasi tersebut simetrik. Mari kita periksa satu per satu.

 kita menemukan (1, 2). Berarti (2, 1) juga harus ada. Ternyata benar.

{(1, 2), (2, 3), (4, 2), (3, 2), (2, 4), (1, 1), (3, 3), (2,1)}

Relasi anti Simetrik

Suatu relasi R disebut relasi anti simetrik jika (a,b)R dan (b,a)R maka a=b.

Dengan kata lain Jika a, b A, a≠b, maka (a,b)R atau (b,a)R, tetapi tidak kedua-duanya.

Contoh : Misalkan R suatu relasi dalam himpunan bilangan asli yang didefinisikan “y habis dibagi oleh x”, maka R termasuk relasi anti simetrik karena jika b habis dibagi a dan a habis dibagi b, maka a = b.

lMisalkan A = {1, 2, 3} dan R1= {(1,1), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2)}, maka R1bukan relasi anti simetrik, sebab (2,3)R1dan (3,2)R1pula.

Relasi Transitif

Misalkan R suatu relasi dalam himpunan A. R disebut relasi transitif jika berlaku ; Jika (a,b)R dan (b,c)R maka (a,c)R.

Dengan kata lain

Jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c, maka a berelasi dengan c.

Contoh : Misalkan A = {a, b, c} dan R = {(a,b), (a,c), (b,a), (c,b)}, maka R bukan relasi transitif, sebab (b,a)R dan (a,c)R tetapi (b,c)R.

Coba dilengkapi agar R menjadi relasi transitif

lR = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}

Relasi Equivalen

Suatu relasi R dalam himpunan A disebut relasi equivalen jika memenuhi ;

1.Sifat Refleksif

2.Sifat Simetrik

3.Sifat Transitif

Sumber :

http://budysantoso40.blogspot.com/2012/09/relasi.html